Thomas Bayes — le théorème qui apprend

ÉtabliDébattuSpéculatif

Thomas Bayes n’a rien publié de son vivant sur le théorème qui porte son nom. Pasteur presbytérien dans le Kent, mathématicien du dimanche au sens noble, il meurt en 1761 en laissant dans ses papiers un essai que son ami Richard Price juge assez important pour le lire, deux ans plus tard, devant la Royal Society. Il avait raison de le lire lentement : il tenait entre les mains la grammaire de tout apprentissage.

Une règle de change

L’idée, débarrassée de sa gangue technique, tient en une phrase : une croyance est un degré de confiance, et toute donnée nouvelle doit le réviser — ni plus, ni moins que ce qu’elle pèse. Le théorème de Bayes est la règle de change exacte entre ce que je croyais avant — le « prior », l’a priori — et ce que je dois croire après — le « posterior » —, compte tenu de la vraisemblance de ce que je viens d’observer. Ce n’est pas une opinion sur la connaissance : c’est un théorème, aussi indiscutable qu’une table de multiplication. Ce qui se discute, c’est tout ce qu’on en a fait. Établi

Le test qui ment sans mentir

Un exemple vaut mieux qu’un sermon. Un test de dépistage fiable à 99 % revient positif, pour une maladie qui touche une personne sur dix mille. Quelle est la probabilité d’être malade ? L’intuition crie 99 % ; Bayes répond : environ 1 %.

Car sur un million de personnes testées, la maladie n’en frappe que cent — que le test détecte presque toutes — mais le test se trompe aussi sur 1 % du million de bien-portants, soit près de dix mille faux positifs. Cent vrais malades noyés parmi dix mille alarmes : le positif isolé est presque toujours une fausse alerte. L’a priori — la rareté de la maladie — pèse plus lourd que la fiabilité du test. Ignorer cet a priori porte un nom, l’oubli du taux de base, et il ne remplit pas que des copies d’étudiants : des diagnostics, des verdicts judiciaires et des politiques publiques ont trébuché dessus. Établi

Pourquoi ce carnet a un code couleur

La science elle-même fonctionne à la bayésienne, qu’elle le revendique ou non. Pourquoi une affirmation extraordinaire exige-t-elle des preuves extraordinaires ? Parce que son a priori est minuscule, et qu’il faut une vraisemblance écrasante pour le remonter. Pourquoi ce carnet accueille-t-il avec calme les annonces spectaculaires — signaux extraterrestres, physique révolutionnaire ? Non par scepticisme de tempérament, mais par arithmétique : réviser sa confiance, oui, toujours ; la téléporter, jamais. Le code couleur de cette collection est, au fond, un affichage d’a priori : vert quand la masse des données a rendu la croyance quasi certaine, ambre quand la révision est en cours, rouge quand l’a priori reste faible et assume de l’être. Établi

Et si le cerveau pariait ?

Au tournant des années 2000, le théorème a changé d’échelle. C’est la thèse du « codage prédictif », portée notamment par Karl Friston : le cortex passerait son temps à prédire ses propres entrées sensorielles, ne remontant vers la conscience que les erreurs de prédiction — l’écart entre la carte attendue et le territoire signalé — et révisant sans cesse son modèle interne pour minimiser la surprise. Percevoir ne serait pas recevoir : ce serait parier, puis corriger. Le cadre est puissant, mathématiquement élégant, et il fédère des données nombreuses ; ses critiques lui reprochent d’être si souple qu’il en devient difficile à réfuter. Le débat est ouvert. Débattu

Un pasteur du dix-huitième siècle, une règle de trois améliorée, et voilà peut-être — le conditionnel est de rigueur — la description de ce que fait votre cerveau en lisant cette ligne. Le théorème qui apprend a encore des choses à nous apprendre.