Georg Cantor — la poussière et l’étoffe

ÉtabliDébattuSpéculatif

Il y a, dans l’histoire des mathématiques, peu de gestes plus audacieux que celui de Georg Cantor dans les années 1870 : compter l’infini. Non pas le contempler, non pas le nier — le compter, comme on compte des moutons, et découvrir qu’il y a des troupeaux d’infinis de tailles différentes.

L’infini a des étages

Le geste fondateur est d’une simplicité désarmante : deux collections ont la même taille si l’on peut apparier leurs éléments un à un, sans reste. Munie de ce critère, l’intuition vacille aussitôt. Les nombres pairs sont aussi nombreux que les entiers — appariez chaque entier à son double. Les fractions aussi. L’infini du dénombrable absorbe tout… jusqu’à ce que Cantor démontre, par son célèbre argument de la diagonale, que les nombres réels — les points d’une simple droite — lui échappent : aucun appariement n’est possible, il y a strictement plus de points sur un segment que d’entiers dans l’éternité. L’infini a des étages. Il en a même une infinité, chacun écrasant le précédent. Établi

La poussière

Cantor a payé cher son audace — l’hostilité de Kronecker, qui voyait dans ces travaux une corruption de la jeunesse mathématique, les séjours en clinique, la reconnaissance tardive. Mais il a laissé, presque en passant, un objet qui intéresse directement ce carnet : la poussière de Cantor. Prenez un segment ; ôtez son tiers central ; ôtez le tiers central de chacun des deux morceaux restants ; recommencez sans fin. Ce qui survit à cette érosion infinie est un objet paradoxal : de longueur totale nulle, et pourtant peuplé d’autant de points que le segment entier. Ni ligne, ni semis de points isolés — quelque chose entre les dimensions, l’ancêtre de toutes les fractales. Établi

L’espace est-il tissé serré ou troué ?

Pourquoi cette poussière, ici ? Parce que la physique fondamentale bute aujourd’hui sur une question que Cantor aurait aimée : l’espace-temps est-il un continu — infiniment divisible, à la manière de la droite réelle — ou un ensemble discret, granulaire, dont la continuité ne serait qu’une apparence à gros grain ?

La gravité quantique à boucles parie sur le grain : aires et volumes y viennent par quanta, et il existe une plus petite surface comme il existe une plus petite charge électrique. La théorie des ensembles causaux radicalise : l’espace-temps serait un semis d’événements-atomes, une poussière causale dont le continu de la relativité n’est que le lissage. La théorie des cordes, elle, garde le continu mais le hante de structures repliées. Aucune observation, à ce jour, ne tranche. Spéculatif

Compter l’incomptable

Cantor offre à ce débat mieux qu’une image : une leçon de méthode. Avant lui, « infini » et « continu » étaient des mots — des gestes vagues de la main. Après lui, ce sont des structures précises, hiérarchisées, dont on démontre les propriétés. Quand un théoricien des cordes dénombre les configurations possibles de son « Paysage » — des nombres qui défient toute image, dix puissance cinq cents, et bien au-delà dans certains décomptes récents —, quand un théoricien des boucles compte les états quantiques d’une surface, ils travaillent tous deux en héritiers de Cantor : ils comptent ce que l’intuition déclarait incomptable. Débattu

On ne sait pas encore si l’étoffe du monde est tissée serré comme la droite réelle ou trouée comme la poussière du même homme. Mais qu’on puisse poser la question proprement — cela, on le doit au patient de Halle, qui comptait les infinis pendant que ses collègues comptaient leurs certitudes.