Les îlots : comment on a recompté l’entropie du rayonnement de Hawking

Chaque affirmation porte son statut : Établi — corroboré par l’expérience ou l’histoire ; Débattu — cohérent mais non confirmé ; Spéculatif — hypothèse de travail.

Ce carnet a raconté deux approches du paradoxe de l’information : le modèle jouet de Frank Wilczek, où un rayonnement paraît thermique tout en restant pur, et la proposition de Gerard ‘t Hooft contre les murs de feu. Il en manquait une, apparue en 2019, qu’il n’avait nommée qu’en passant. Elle ne dit pas par où passe l’information. Elle recompte l’entropie du rayonnement — et retrouve la courbe qu’exige l’unitarité.

Ce que la courbe de Page exige

Le raisonnement tient en trois marches, et la revue qui sert de source ici les pose sans détour. Vu de l’extérieur, un trou noir peut être décrit comme un système quantique dont le nombre de degrés de liberté est fixé par l’aire de son horizon, et qui évolue de façon unitaire ; les auteurs appellent cette hypothèse le « dogme central ». Si ce dogme est vrai, et si, ensemble, le trou noir et son rayonnement forment un état pur, l’entropie du rayonnement doit égaler celle du trou noir restant. Or celle-ci doit rester inférieure à l’entropie de Bekenstein-Hawking, qui diminue à mesure que le trou noir s’évapore. Établi

Conclusion : à partir d’un certain moment — le temps de Page — l’entropie du rayonnement doit redescendre. C’est la courbe de Page, proposée par Don Page en 1993 (Physical Review Letters, volume 71, page 3743). Le calcul de Hawking dit l’inverse : l’entropie monte jusqu’à la fin. Ce carnet a déjà rencontré une courbe qui monte puis redescend dans le modèle jouet de Wilczek ; un aspect du paradoxe — celui que la revue entend résoudre — tient dans l’écart entre les deux tracés. Établi

Les auteurs ajoutent une remarque qui fixe le niveau de la difficulté : le paradoxe tient à tous les ordres de la théorie des perturbations. S’il a une solution, elle doit être non perturbative — elle ne peut pas venir d’une petite correction au calcul de Hawking. Établi

Recompter, plutôt que suivre

La revue s’intitule The entropy of Hawking radiation. Signée Ahmed Almheiri, Thomas Hartman, Juan Maldacena, Edgar Shaghoulian et Amirhossein Tajdini, déposée en juin 2020 sous la référence arXiv:2006.06872, elle est parue dans Reviews of Modern Physics, volume 93, article 035002, en 2021. Établi

Son objet n’est pas de dire comment l’information sort, mais de calculer autrement l’entropie du rayonnement — l’entropie fine, celle de l’état quantique exact, et non l’entropie thermodynamique. La méthode étend au rayonnement une technique de calcul de l’entropie en gravité développée, écrivent les auteurs, au cours des quinze années précédentes. Elle fait apparaître, selon eux, de grandes corrections, celles qu’il faut pour que l’entropie soit compatible avec une évaporation unitaire. Établi

L’application de cette technique au problème de l’information, la revue la crédite à deux articles déposés en 2019 : celui de Geoffrey Penington, et celui d’Ahmed Almheiri, Netta Engelhardt, Donald Marolf et Henry Maxfield. Parmi les références qu’elle donne pour la règle de l’îlot figure un troisième article de la même année, signé Almheiri, Raghu Mahajan, Juan Maldacena et Ying Zhao. Établi

La règle de l’îlot

La règle de base est une minimisation. On considère une entropie dite généralisée — un terme d’aire, à la manière de Bekenstein, plus l’entropie des champs quantiques ordinaires — et l’on cherche les surfaces qui la rendent extrémale ; s’il y en a plusieurs, on retient le minimum global. Cette valeur minimale est l’entropie fine cherchée. Une telle surface s’appelle une surface extrémale quantique ; c’est, précise la revue, une surface géométrique classique de l’espace-temps. Débattu

Appliquée au rayonnement, la règle réserve une surprise. Le rayonnement est intriqué avec les champs de l’intérieur du trou noir ; on peut donc faire baisser son entropie en comptant aussi une partie de cet intérieur, au prix d’un terme d’aire. Aux temps tardifs, le bilan est favorable, et la règle impose d’inclure cette région déconnectée, située à l’intérieur du trou noir — c’est elle que l’on nomme un îlot. Sa frontière se trouve tout près de l’horizon. Débattu

L’entropie du rayonnement est alors le plus petit de deux nombres : sans îlot, elle croît comme chez Hawking ; avec îlot, elle décroît. La courbe de Page sort de ce minimum — la branche montante vient de la contribution sans îlot, la branche descendante de la contribution avec îlot. Débattu

D’où sort l’îlot

Pourquoi aurait-on le droit de compter l’intérieur du trou noir dans l’entropie de son rayonnement ? La réponse de la revue passe par une technique de calcul, la méthode des répliques : on considère n copies du système, on calcule une grandeur qui les met en jeu toutes à la fois, puis l’on fait tendre n vers 1 pour retrouver l’entropie. Établi

En gravité, rappellent les auteurs, il faut en principe sommer sur toutes les topologies possibles de l’espace-temps. Parmi elles figurent des géométries où les copies du trou noir sont reliées par leur intérieur — des trous de ver dits répliques. Copies séparées : on retrouve la réponse de Hawking. Copies reliées : on obtient la réponse avec îlot. La plus petite domine, et donne la courbe unitaire. Débattu

C’est, selon la revue, ce que ces trous de ver expliquent : pourquoi l’intérieur doit être inclus dans le calcul de l’entropie du rayonnement. Dans ce calcul, l’îlot est compté avec le rayonnement, et non avec le trou noir. Débattu

Ce que la formule ne dit pas

C’est ici que la revue devient précieuse, parce qu’elle fait l’inventaire de ses propres manques. La formule calcule l’entropie d’un état ; elle ne donne pas cet état. Reproduire la courbe de Page ne fournit aucune formule pour les éléments individuels de la matrice qui décrit le rayonnement, et les auteurs écrivent qu’ils ne savent pas, à ce jour, extraire ceux de la matrice de diffusion du trou noir — celle qui relie ce qui y tombe à ce qui en ressort. Ils concluent que la discussion laisse un problème important sans solution. Établi

Sur le mécanisme, la revue n’avance qu’une idée, et la présente comme telle : des calculs très complexes effectués sur le rayonnement pourraient créer des trous de ver qui atteignent l’intérieur et en extraient l’information qui s’y trouve. Le décodage serait d’une complexité à peu près exponentielle dans l’entropie du trou noir. Spéculatif

Les auteurs signalent aussi ce qu’ils ignorent des fondements. Le calcul repose sur une intégrale de chemin dont on ne sait pas, disent les auteurs, comment elle se définit précisément en gravité, ni quelles géométries il faut y inclure. Ils vont jusqu’à envisager que certaines théories de la gravité contiennent ces trous de ver répliques et évaporent leurs trous noirs de façon unitaire, tandis que dans d’autres ils ne contribueraient pas — et le tableau de Hawking serait le bon. Établi

Dès l’introduction, à propos des simplifications de leur exposé, ils disent croire ces réserves seulement techniques, peu susceptibles de changer le tableau général. Mais ils écrivent aussi, en conclusion, que leur interprétation pourrait devoir être révisée à l’avenir. Établi

Les objections

La première porte sur le graviton. En 2020, Hao Geng et Andreas Karch font observer que tous les calculs fiables de la courbe de Page au-delà de trois dimensions d’espace-temps avaient été menés dans des systèmes où le graviton a une masse — et que si l’on fait tendre cette masse vers zéro, toute contribution des îlots disparaît (Journal of High Energy Physics, 2020, « Massive Islands »). Débattu

L’année suivante, Geng, Karch et cinq coauteurs, parmi lesquels Suvrat Raju et Lisa Randall, vont plus loin : dans une théorie où la gravité porte à longue distance, l’énergie d’une excitation logée dans l’îlot peut être détectée depuis l’extérieur de l’îlot. Les îlots pourraient alors ne pas être des régions cohérentes dans les théories usuelles de la gravité sans masse, celles où s’applique la loi de Gauss (Journal of High Energy Physics, 2022). Débattu

Raju, dans une longue synthèse parue en 2022 dans Physics Reports, soutient de son côté que les modèles où le trou noir rayonne dans un bain sans gravité peuvent donner une image inexacte du rythme auquel l’information peut être extraite d’un trou noir qui s’évapore dans un espace asymptotiquement plat. La revue, elle, cite un article de 2020 intitulé « Islands in Asymptotically Flat 2D Gravity » (Hartman, Shaghoulian et Strominger) — des îlots dans un espace asymptotiquement plat, mais pour une gravité à deux dimensions. Débattu

Trois approches, aucun verdict

Avec cet article, ce carnet a raconté trois façons d’aborder le paradoxe sans renoncer à l’unitarité. Wilczek montre, sur un modèle qu’on calcule à la main, qu’un rayonnement peut paraître thermique de bout en bout tout en restant pur. ‘t Hooft soutient qu’en imposant ensemble unitarité et renversement du temps, les murs de feu peuvent être éliminés par un changement de description. Les îlots recomptent l’entropie et retrouvent la courbe attendue, sans dire par où passe l’information. Débattu

Aucune n’a fourni ce que le portrait de Hawking rangeait parmi les grands chantiers ouverts de la physique : comment, concrètement, l’information ressort. Les îlots ont déplacé la question ; ils ne l’ont pas fermée. Débattu

La logique de la courbe de Page et le contenu de la revue de 2021 sont établis : le texte est publié et ses auteurs comptent parmi les artisans du calcul. La règle de l’îlot et l’explication par les trous de ver répliques sont débattues : elles reposent sur une intégrale de chemin dont les auteurs eux-mêmes disent ne pas savoir la définir précisément en gravité, et leur validité pour un graviton sans masse est contestée dans la littérature. Le mécanisme d’extraction de l’information reste spéculatif.