Carl Friedrich Gauss — la courbure vue de l’intérieur

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Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — théorie des nombres, géométrie différentielle, astronomie. Galerie Mathématiciens, portrait 2/3 : la maison de la géométrie.

Enfant prodige d’une famille pauvre de Brunswick, Gauss aurait, à dix ans, additionné les nombres de 1 à 100 en quelques secondes — en repliant la somme sur elle-même. L’anecdote est peut-être enjolivée, mais elle dit vrai sur le personnage : là où les autres calculent, Gauss voit une structure. On l’a surnommé le « prince des mathématiciens » ; il a régné sur presque tous les territoires de sa discipline.

Sa contribution la plus lourde de conséquences pour la physique est le theorema egregium — le « théorème remarquable ». Gauss démontre que la courbure d’une surface est une propriété intrinsèque : un être vivant sur la surface pourrait la mesurer de l’intérieur, sans jamais la voir « du dehors », simplement en arpentant des triangles et en vérifiant si leurs angles font bien 180°. Autrement dit : nul besoin d’un espace extérieur pour qu’un espace soit courbe. Établi

C’est exactement l’idée qui rendra pensable la relativité générale : notre espace-temps est courbé, et nous le mesurons de l’intérieur — nous, les habitants de la surface. Gauss lui-même, dit-on, aurait tenté de vérifier si l’espace physique était euclidien en mesurant un immense triangle entre trois sommets allemands. Que cette mesure ait réellement visé la géométrie de l’espace (et non un simple travail géodésique) est disputé par les historiens. Débattu

Gauss avait aussi exploré en secret la géométrie non euclidienne, sans rien publier — par crainte, écrivait-il, des « criailleries des Béotiens ». La révolution attendrait Riemann, son élève.

Retenir de Gauss une idée simple et vertigineuse : la courbure n’a pas besoin de spectateur extérieur. L’Univers n’est courbé « dans » rien du tout — et c’est mesurable.